●方程有悠久的歷史，它隨著實踐需要而產(chǎn)生，并且具有極其廣泛的應(yīng)用，從數(shù)學(xué)科學(xué)本身看，方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是學(xué)生用算術(shù)思想飛躍到用代數(shù)思想分析數(shù)量關(guān)系的重要載體。當(dāng)我們張開雙臂熱情擁抱它時，不妨“未雨綢繆”，讓孩子在豐富的體驗中感悟方程本質(zhì)，在解決問題中愿列方程，會列方程，善解方程，切實提高解決問題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
體驗中感悟本質(zhì) 溝通中實現(xiàn)飛躍
——關(guān)于方程教學(xué)的實踐與思考
陳金飛
方程作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生用算術(shù)思想飛躍到用代數(shù)思想分析數(shù)量關(guān)系的重要載體。它對豐富學(xué)生解決問題的策略，提高解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常重要的意義。但在教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)方程教學(xué)難度較大，效果不甚理想。主要體現(xiàn)在三個方面：一是學(xué)生不愿用方程解決問題；二是學(xué)生抓不住等量關(guān)系列方程；三是學(xué)生面對稍復(fù)雜方程無所適從。針對這一現(xiàn)象我校數(shù)學(xué)組作了專題探究，通過深入的實踐，有針對性地優(yōu)化方程的教法、學(xué)法，取得了良好的教學(xué)效果。
一、加強體驗，凸顯優(yōu)勢愿列方程
算式表示用算術(shù)方法進行計算的程序，列算式依據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，算式中只能含已知數(shù)而不能含未知數(shù)。列方程也依據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系（特別是相等關(guān)系），但它打破了列算式時只能用已知數(shù)的限制，可以根據(jù)需要含有相關(guān)的已知數(shù)和未知數(shù)，正因如此，一般地說，列方程要比列算式考慮起來更直接、更自然，因而有更多優(yōu)越性。但由于小學(xué)教材提供的例子都是簡易方程，數(shù)量關(guān)系比較直觀，因此學(xué)生對方程法解決問題的優(yōu)越性缺乏深刻體驗，加之學(xué)生初步接觸方程，還沒有形成用方程法來解決問題的習(xí)慣，因此，學(xué)生忠實于算術(shù)法解題也就情有可原。如果我們讓方程與解決實際問題密切結(jié)合，讓學(xué)生感受到用方程解決問題，可以使數(shù)學(xué)思維變簡潔，那學(xué)生就會愿意用方程解決問題。為了幫助學(xué)生感受方程法在解決某些類型問題時在思維上的優(yōu)越性，應(yīng)在教學(xué)中組織學(xué)生經(jīng)歷多角度體驗。
1.對比體驗。
教師有意識通過對比活動讓學(xué)生放大體驗，從而獲得鮮明而準(zhǔn)確的體驗。
例如：“西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？”
師：用算術(shù)法或方程法列式解答，并說說列式的想法。
生1：我是用算術(shù)法解答，用64-22=42（米），求出小雁塔高度的2倍，再用42÷2=21（米），求出小雁塔高度。
師：生1的想法正確嗎？
生2：生1的想法是錯誤的，他以為題中出現(xiàn)“少”字，就用減法計算。其實這道題中要求的問題：“小雁塔高多少米？”是1倍數(shù)，大雁塔比2倍數(shù)少22米，反過來理解：小雁塔高度的2倍比大雁塔高度多22米，因此用64+22=86（米），求出小雁塔高度的2倍，再用86÷2=43（米），才能求出小雁塔高度。
生3：我是用方程解的，設(shè)小雁塔高x米，根據(jù)“小雁塔高度的2倍-22=大雁塔高度”，列出方程2x-22=64，解得x=43，即小雁塔高43米。
師：我們回顧一下解決問題的過程，比較兩種解法，有什么啟發(fā)？
生4：這道題要求的問題是1倍數(shù)，用算術(shù)法解答需要逆向思考，而用方程解只要順著題意列出方程，顯得較容易，正確率高。
2.變式體驗。
教師引領(lǐng)學(xué)生通過建立不同的等量關(guān)系式，列出不同的方程式，幫助學(xué)生多角度地理解題意，不斷積累現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗，從而提高方程法解題的能力。
例如：“師徒兩人同時裝配計算機，師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺。經(jīng)過多少天師傅比徒弟多裝配72臺？”
師：找出題中的等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式列出方程。
生1：我是根據(jù)“師傅裝配的總數(shù)－徒弟裝配的總數(shù)=72”，列出方程“31x－22x=72”。
生2：我是根據(jù)“徒弟裝配的總數(shù)＋72=師傅裝配的總數(shù)”，列出方程“22x＋72=31x”。
生3：我是根據(jù)“師傅裝配的總數(shù)－72=徒弟裝配的總數(shù)”，列出方程“31x－72=22x”。
師：比較三種解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生4：等量關(guān)系式不同，列出的方程也不同。
生5：雖然方程不同，但最后解得的結(jié)果都是相同的。
師：通過比較，大家積累了一些解方程的經(jīng)驗，今后我們用方程解決問題時，可以多角度思考問題，提升我們的思維水平。
3.策略體驗。
初次接觸方程，學(xué)生往往機械地抓住問題直接設(shè)元，致使面對列出的方程手足無措。通過直接設(shè)元與間接設(shè)元的比較，讓學(xué)生獲得解方程難易不同的程度體驗，提高解決問題策略的靈活性。
例如：盒子里裝有同樣數(shù)量的紅球和白球。每次取出6個紅球和4個白球，取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個。盒子里原來有紅球多少個？
師：找出題中的等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式列出方程。
生1：我是設(shè)紅球有x個，根據(jù)“取的次數(shù)相同”，列出方程“x÷6=(x－10)÷4”， 但我不會解這個方程。
生2：我是設(shè)取了x次，根據(jù)“紅球和白球數(shù)量相同”，列出方程“6x=4x+10”。解得x=5，再用6×5=30（個），求出紅球的個數(shù)。
師：比較兩位學(xué)生的不同解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生3：有時我們直接設(shè)要求的問題為x，解方程的難度較大，而如果換個角度設(shè)題中未知的份數(shù)或每份數(shù)為x，則列出的方程容易解答。
師：那什么時候可以直接設(shè)要求的問題為x？
生4：一般要求的問題是份數(shù)或每份數(shù)時，我們依據(jù)總數(shù)相等列方程，直接設(shè)要求的問題為x，解答較容易。而要求總數(shù)時，根據(jù)份數(shù)或每份數(shù)相等列方程，列出的方程中會出現(xiàn)除法，解答較困難。
師：看來通過比較，大家對方程已有了更深的體驗，在今后解決問題時，要根據(jù)不同的情況，采用不同的策略。
二、感悟本質(zhì)，找準(zhǔn)等量會列方程
方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，正是對于它的研究推動了代數(shù)學(xué)的發(fā)展，從代數(shù)中關(guān)于方程的分類看，一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程，也是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ)?！胺匠痰囊饬x”的教學(xué)重點是讓學(xué)生理解方程的含義，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中，我們要讓學(xué)生深刻把握方程顯性特征和隱性特征兩個方面。
1.認識方程的顯性特征。
教材提供定義：“含有未知數(shù)的等式是方程”，我們不能單從形式化的概念出發(fā)設(shè)計課堂教學(xué)。可采用兩次分類的方法，通過比較幫助學(xué)生認識方程的外部特征，即含有“未知數(shù)”和“等式”。
教學(xué)片段：《認識方程》將式子“分類”，認識“方程”。
師：我們來看剛才根據(jù)天平圖所寫的幾個式子。
教師在黑板上集中呈現(xiàn)8個式子的卡片：
40＋50＝90 X＋40＞100
50×2＝100 X＋50＜200
50﹤100 X＋50＝150
100﹥50 2X＝100
師：你能把這8道算式按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類嗎？（提供裝有8道算式的信封）同桌間說說你的想法，再進行分類。
交流：黑板上移動式子卡片，將式子分類。
生1：我是按照是不是等式來進行分類的。
學(xué)生對黑板上的卡片位置作一些調(diào)整，調(diào)整后如下：
50﹤100 50×2＝100
100﹥50 40＋50＝90
X+40﹥100 2X＝100
X＋50＜200 X＋50＝150
生2：我是按照算式中有沒有未知數(shù)來分類的。學(xué)生所排列的式子作如下的調(diào)整：
40＋50＝90 X＋40＞100
50×2＝100 X＋50＝150
50﹤100 X＋50＜200
100﹥50 2X＝100
生3：我把這8道算式分成了4類。
學(xué)生對黑板上的卡片位置作出調(diào)整，調(diào)整后如下：
是不是等式
50﹤100 50×2＝100
有沒有 100﹥50 40＋50＝90
未知數(shù) X＋40＞100 X＋50＝150
X＋50＜200 2X＝100
師：大家通過思考、交流，把8個式子分成了4類。看看每一組式子有什么特點？
學(xué)生一一描述。
師：請同學(xué)們仔細觀察“X＋50＝150、2X＝100”這一類式子，和其他式子相比，它們具備怎樣的特點？
讓學(xué)生感知“含有未知數(shù)”與“等式”是方程意義的兩點最重要的內(nèi)涵，“含有未知數(shù)”也是方程區(qū)別于其他等式的關(guān)鍵特征，理解等式與方程這兩個概念之間的包含與被包含關(guān)系。即方程都是等式，但等式不一定是方程。
2.認識方程的隱性特征。
所謂隱性特征，即是方程特定的本質(zhì)特征。方程本質(zhì)對已知數(shù)和未知數(shù)一視同仁，通過建立起已知數(shù)和未知數(shù)之間的等式關(guān)系，進而求得未知數(shù)。實踐中，我們注意循序漸進，分層突破。
（1）滲透字母教學(xué)
在低年級計算教學(xué)中適當(dāng)滲透含有字母的題目，讓學(xué)生對字母有親切感，降低字母抽象性，為學(xué)生接納方程打下基礎(chǔ)。如“2+（ ）=10,2×( )=10等填加數(shù)、乘數(shù)的題目”，不妨以“2+a=10，2×a=10,a=( )的形式出現(xiàn)”。中年級加強用整式表示常見的數(shù)量關(guān)系教學(xué)。如：路程=速度×?xí)r間。常見的數(shù)字問題：連續(xù)自然數(shù)；連續(xù)偶數(shù)；連續(xù)奇數(shù)；十位上數(shù)字為a，個位上數(shù)字為b，則這個數(shù)為10a+b等。
（2）加強等量關(guān)系式教學(xué)
通過多元表征來突破算式思維的限制，發(fā)展學(xué)生關(guān)系式思維。如借助實物操作或表象操作，通過抓兩者之間關(guān)系的關(guān)鍵句，用直觀圖、線段圖展示出兩者關(guān)系，架起直觀與抽象的符號表征之間的橋梁進行關(guān)系式表征，逐步抽象成符號表征。在低年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，加強對數(shù)量關(guān)系的分析，如每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)三個量之間的關(guān)系。重視介紹尋找等量關(guān)系行之有效的方法。如“甲數(shù)是乙數(shù)的3倍”、“甲數(shù)比乙數(shù)的3倍多12”這兩句關(guān)鍵句中，首先找“一倍數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)量）”，它往往在“是”的后面、“的幾倍”的前面，抓住了一倍數(shù)也就很容易確立等量關(guān)系式。
（3）滲透等式性質(zhì)
學(xué)生認識方程的最大困難在于受“程序性觀點”（如4+5=9，從左往右運算）的影響，始終拘泥于具體運算（加、減、乘、除），而不會從整體關(guān)注，即把方程看成是一個等號兩邊相等的整體結(jié)構(gòu)，因此，學(xué)生只有實現(xiàn)等式“程序性觀點”向“結(jié)構(gòu)性觀點”（4+5=3+6，把等于號看作天平的指針）的轉(zhuǎn)變，讓思維關(guān)注點集中于方程表示的等量關(guān)系，對方程的認識才能達到更高水平。因此在小學(xué)低年級日常教學(xué)中就加強等式性質(zhì)的滲透，將方程技能的訓(xùn)練貫穿于問題解決之中，為今后的方程教學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。如一上計算5+（）=12時，教師可結(jié)合天平稱物體的具體情境（左邊5個蘋果，右邊12個蘋果，天平的左邊應(yīng)增添幾個蘋果，天平才平衡），通過演示來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感悟到左右兩邊同時減去5個蘋果，這時天平平衡，即括號里的數(shù)填7。
三、溝通聯(lián)系，多措并舉善解方程
利用等式的性質(zhì)解方程，對于形如“a－x=b、a÷x=b、ax =bx±c”的方程，按照現(xiàn)行教材編排體系，利用等式的性質(zhì)求解時，學(xué)生往往感到無從下手，錯誤率較高。為此，我們對教材進行了適當(dāng)重組，在實踐中取得了較好的教學(xué)效果。
1. 滲透“合并（同類項）”和“消去”思想。增加整式的合并（同類項）和含有括號的整式加減運算。例如化簡下列算式：3.2x+2x；18+x-12；3x+3.6+x； ab+ac；ax+a。合并（同類項）概念不出現(xiàn)，啟發(fā)學(xué)生從乘法分配律角度去理解。
2.溝通“等式基本性質(zhì)”與“四則關(guān)系” 解方程兩種依據(jù)之間的聯(lián)系。重點突破“a－x=b、 a÷x=b”，根據(jù)等式基本性質(zhì)，可以解得“x= a－b 、x=a÷b ”，推理過程如下：“a－x=b ，則a－x＋x=b＋x, a=b＋x, b＋x=a， b＋x－b=a－b，x= a－b；a÷x=b ，則a÷x×x=b×x，a=b×x，b×x=a，b×x÷b=a÷b， x=a÷b”。通過推理讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一是不管未知數(shù)出現(xiàn)在哪個位置上，都能用等式的基本性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。二是結(jié)合等式性質(zhì)理解四則運算關(guān)系的方法。剛才推出的結(jié)果其實就是四則關(guān)系中“減數(shù)=被減數(shù)—差、除數(shù)=被除數(shù)÷商”。實踐證明，雖然花時較多，但效果較好，學(xué)生能感受到算術(shù)與代數(shù)之間的緊密聯(lián)系，將代數(shù)方法與算術(shù)方法解方程有機糅合。
3.滲透“移項”的方法。負數(shù)的加減乘除雖然在小學(xué)階段暫時不能與解方程掛上鉤，但是作為初中“移項”的預(yù)備知識，將數(shù)與符號看作“一個整體”的觀念，及早根據(jù)等式的基本性質(zhì)推導(dǎo)，引出移項的方法。如x＋a=b變形為x=b－a相當(dāng)于將“加a”移到右邊變成“減a”，討論總結(jié)出移項的規(guī)則：小往大處靠，即小的移往大的那邊，變?yōu)橄喾吹姆?，原來的加號變?yōu)闇p號（相當(dāng)于正號變?yōu)樨撎枺?，減號變?yōu)榧犹枺ㄏ喈?dāng)于負號變?yōu)榧犹枺?/span>
以上些許思考與調(diào)整，不僅拓寬了學(xué)生的解題思路，而且連通了小學(xué)、初中相同內(nèi)容的不同表述，有效地提高了學(xué)生對知識系統(tǒng)的建構(gòu)和把握，降低了學(xué)習(xí)的難度，克服了學(xué)生不愿列方程、不會列方程、不會解方程的弊端。
本文發(fā)表于《遼寧教育》，2013.02.71～73.
5000字