“乘法分配律”數(shù)學模型的建構
江蘇省啟東實驗小學 陳金飛
數(shù)學模型，一般是指用數(shù)學語言、符號和圖形等形式來刻畫、描述、反映特定的問題或具體事物之間關系的數(shù)學結構。乘法分配律的教學，很多的教師從其外形特征出發(fā)，出示4～6個符合乘法分配律特征的等式，引導學生觀察等式，通過找出它們的相同點，用不完全歸納法抽象出等式模型：(a+b) ×c = a×c +b×c。這樣的教學過程，只注重外形記憶，輕視本質(zhì)理解，因而學生容易受交換律、結合律的影響，產(chǎn)生思維定勢，出現(xiàn)類似a×(b＋c)=a×b＋c的錯誤，學生知其然，而不知其所以然。 只有從乘法分配律的本質(zhì)出發(fā)，引導學生對數(shù)學學習的過程進行分析與解構，并自主建構數(shù)學模型，才能豐富和深化對乘法分配律的認知，有效實現(xiàn)從直觀到抽象的過渡與演變，在充分感悟的過程中，真正意義上實現(xiàn)對“分配”本質(zhì)的深刻理解。
一、探究現(xiàn)實問題，初步感知數(shù)學模型
出示主題圖：
圖1
師：從圖上你看到了什么？能提出哪些數(shù)學問題？
生1：我看到了工人師傅在墻上貼瓷磚，左面墻上已經(jīng)貼了9行瓷磚，每行4塊。右面墻上也貼了9行瓷磚，每行6塊。
生2：左面墻上一共有多少塊瓷磚？右面墻上一共有多少塊瓷磚？
生3：兩面墻拼起來一共有多少塊瓷磚？兩面墻相差多少塊瓷磚？
師：面對一個情境，大家能從不同的角度提出問題，真能干。我們先一起研究：兩面墻上一共貼了多少塊瓷磚？該怎么解決呢？請獨立思考，再匯報交流。
學生匯報。
生1：4×9+6×9=90（塊）。4×9求的是左面墻上瓷磚的塊數(shù)，6×9求到的是右面墻上瓷磚的塊數(shù)，加起來，就求到了瓷磚的總塊數(shù)。
生2：（4+6）×9=90（塊）。4+6求到的是把兩面墻拼在一起一行有多少塊，再乘9求到9行一共有多少塊。
師：仔細觀察這兩個算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生：我發(fā)現(xiàn)兩種方法算到的瓷磚塊數(shù)相等。
師：所以，我們可以用等號把它們連起來。
板書：（4+6）×9=4×9+6×9
思考：數(shù)學源于生活。從生活中的實際例子，讓學生初步感悟數(shù)學模型源于生活，并且是他們“獨到的發(fā)現(xiàn)”，更有利于激發(fā)學生探究的興趣。圖形的出示，既是探究、建立數(shù)學模型的顯性依據(jù)，同時，對于研究、建立“乘法分配律”模型也更有直觀的說服力。
二、提供充足時空，深入理解數(shù)學模型
師：兩個不同的算式，結果卻相等，你知道其中的奧秘嗎？結合圖形說說你的想法。
課件展示圖形動態(tài)變化，學生根據(jù)圖形作出解釋。（如圖2）
圖2
生1：豎著看，一列有9塊瓷磚，共4+6=10列，表示10個9相加。4×9+6×9是4個9加6個9，也是10個9相加，所以結果相等。
生2：如果橫著觀察，一行有1個4和1個6相配,9行是9個4和6的和，（4+6）×9是9個（4+6），4×9+6×9是9個4加9個6，也是9個（4+6），結果相等。
師：看來不管是豎著觀察，還是橫著觀察，用乘法的意義都能解釋為什么這兩個式子存在相等關系。想一想，還有其他的分拆方法嗎？換一種拆分的方法，是否也存在等式？自己動手分一分，寫出相應的等式，在小組里交流。
生1：我們是豎分的，又得到了四種分法，等式分別是：（1+9）×9=1×9+9×9；（2+8）×9=2×9+8×9；（3+7）×9=3×9+7×9；（5+5）×9=5×9+5×9。
生2：我們是橫分的，得到四種不同分法，等式分別是：（1+8）×10=1×10+8×10；（2+7）×10=2×10+7×10；（3+6）×10=3×10+6×10；（4+5）×10=4×10+5×10。
充分展開學生的思維過程，把模型的建構建立在富足的經(jīng)驗積累與數(shù)學理解之上，就為學生真正把握模型內(nèi)涵、數(shù)學本質(zhì)奠定了堅實的基礎。深入的探究，多層面的舉例，為學生探索規(guī)律，建構模型提供了思維路徑。
三、抽象形成規(guī)律，建構完善數(shù)學模型
師：觀察這些等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：這些算式都可以合起來算，也可以分開算，無論是合起來算，還是分開算，得數(shù)一樣。
生2：兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以用這兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個積相加，結果不變。
生3：可以用字母表達： (a+b) ×c = a×c +b×c
師：你太厲害了，把這些等式的共同特征都用字母表達出來了。這個規(guī)律是偶然的巧合還是必然的規(guī)律？
生1：我們可以借助剛才的長方形圖來解釋，兩個小長方形的長分別是a、b，寬是c，那么大長方形的面積可以用(a+b) ×c表示，也可以用a×c +b×c來表示，所以(a+b) ×c = a×c +b×c。（如圖3）
圖3
師：同學們真了不起，大家通過努力，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學上一個重要的運算定律——乘法分配律。
由具體實例抽象、上升為字母公式，由松散的個例上升為嚴謹?shù)臄?shù)學結論，經(jīng)過不完全歸納，學生在教師的引導下有效地建構出解決問題的數(shù)學模型----乘法分配律，看似輕而易舉，實則前面的鋪墊探究功不可沒。
四、拓展知識結構，內(nèi)化提升數(shù)學模型
建構“乘法分配律”數(shù)學模型的意義不僅僅是掌握其外在的、顯性的公式，更重要的在于如何把這種數(shù)學模型深深地建構在學生的數(shù)學結構中，當需要時，即可將這個模型用來解決實際問題。因此，實際教學中，有必要引導學生在基本模型的基礎上，對規(guī)律進行合理的聯(lián)想和必要的拓展與深化，引導學生繼續(xù)思考：乘法對減法有分配律嗎？多個數(shù)的和乘同一個數(shù)還存在乘法分配律嗎？讓原來的模型再次生長，豐富和深化學生對乘法分配律內(nèi)涵的認識。
師：像（a+b）×c=a×c+b×c這樣的等式我們可以看作是一個數(shù)學模型。如果要求“兩面墻上的瓷磚相差多少塊？”，能依照剛才的學習過程，也來建立一個數(shù)學模型嗎？
生1：可以列出兩個式子6×9-4×9和（6-4）×9，這兩個式子的結果也相等。如果再舉兩個例子，也可以發(fā)現(xiàn)也有這樣相等的規(guī)律，所以可以用字母表示：（a-b）×c=a×c-b×c。
生2：對于這個數(shù)學模型，我也可以用乘法的意義來解釋，（a-b）個c等于a個c減b個c。
師：如果讓圖5繼續(xù)生長（如圖4），能否用字母來表示：你新的猜想？
圖4
生：(a+b+c) ×d = a×d +b×d+c×d
從乘法分配律的基本等式模型拓展至（a-b）×c=a×c-b×c、(a+b+c) ×d = a×d +b×d+c×d的等式模型，是學生數(shù)學思維的一次飛躍。由此，在掌握基本模型的基礎上，可以進一步拓展成(a+b+c+d+…) ×e = a×e+b×e+c×e+d×e+…×e，至此，將數(shù)學模型的探究過程上升完善至一個數(shù)學思維系統(tǒng)的建構。
【作者簡介】陳金飛，江蘇省啟東實驗小學（226200）.
【基金項目】小學數(shù)學智性學習研究（江蘇省教育科學“十二五”重點規(guī)劃課題，編號B/b201302352）.
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【原文出處】《教學與管理》（小學版），2015.2.43～44