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從“隱性”到“顯性”：小學數(shù)學思維可視化策略探析

啟東小學數(shù)學鄉(xiāng)村骨干教師培育站 衛(wèi)佳男

【摘要】小學數(shù)學核心素養(yǎng)的本質在于數(shù)學思維的培養(yǎng)和提升。數(shù)學思維可以借助語言、表象或動作進行外顯，進而實現(xiàn)對客觀事物概括和間接的認識。在小學數(shù)學教學中，教師要善于調動學生的多重感觀，讓學生在動手操作、語言表達、圖形表征中提高思維能力，教師也要根據(jù)學生的反饋及時調整完善自己的教學內容，從而更好地優(yōu)化學生數(shù)學思維方式，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質。

【關鍵詞】思維能力  動手操作  語言表達  畫圖

小學數(shù)學是數(shù)學教育的基礎，學生通過學習能夠發(fā)展數(shù)學思維，提高思維水平，提升數(shù)學素養(yǎng)，形成良好的思維品質。然而數(shù)學學習相對較難，每個學生都是獨立的個體，他們的思維過程又看不見，教師如何做到讓學生掌握基礎知識的同時更好地培養(yǎng)他們的數(shù)學思維能力，促進思維發(fā)展？

一、“動”中生慧：讓智慧在孩子指尖上跳躍

心理學家皮亞杰認為：活動是認識的基礎，智慧從動作開始。兒童的智慧往往產(chǎn)生在指尖上，所以教師應有效地開展數(shù)學活動，讓學生在操作中感受、體驗知識的形成過程，同時教師可以清楚了解學生的思維現(xiàn)狀，以此對自己教學作出反思與調整，更好地培養(yǎng)、發(fā)展學生的數(shù)學思維。

1.在認知的生長處感悟積累

小學數(shù)學知識是相互聯(lián)系的，教師需了解小學數(shù)學知識總體結構，理清各部分知識間的聯(lián)系，這樣才能讓學生在舊知的基礎上對新知進行理解深化，不斷建構新的知識體系。

教學蘇教版教材一年級下冊“認識圖形（二）”一課，安排學生在釘子板上“圍一圍”一是能讓學生加強圖形的表象，二是能激發(fā)學生創(chuàng)造圖形的興趣，三是為二年級學習多邊形作準備。這是學生第一次接觸釘子板，教師應事先提醒好學生在用橡皮筋圍圖形的時候，不能就往上一放，而是應該拉緊皮筋。在釘子板上圍圖形，基本過程是：①根據(jù)要求提取記憶中有關圖形的表象（動腦想一想要圍一個什么樣的圖形）②動手圍一圍（把腦中的形狀表達出來）③驗證做出的圖形（觀察圍成的圖形是否符合要求）④確認或修改圖形（圖形符合要求就確認，若不符合就進行修改或重做）。學生在動手操作的時候，根據(jù)記憶中圖形的表象來判斷所圍圖形正確與否，不正確再通過數(shù)格子、數(shù)釘子來修改。經(jīng)過不斷“嘗試——驗證——修正”，不僅能使學生在操作中逐步感悟知識、建構知識體系，同時又能讓學生有序思考、提高思維水平。

在圍出長方形、正方形和三角形后，教師拋出一個問題：“能在釘子板上圍出一個圓嗎？”一開始很多學生點頭嘗試，嘗試過后才發(fā)現(xiàn)，在釘子板上無論怎么移動橡皮筋，圍出的線都是直的，而圓是曲線的。若僅靠想象，一年級的學生是無法正確判斷在釘子板上能不能圍成一個圓，只有自己實踐檢驗過了，才能在腦中形成正確的認知。心理學家研究表明，兒童的理解來自他們作用物體的活動。這樣具體、有序的操作活動可將無形的、抽象的思考具體化，思考過程可視化。[[i]]

2.在智慧的發(fā)展處提煉總結

心理學家羅杰斯認為學生要有意義學習，要讓學生完整地投入到學習活動中去，不只是“頸部以上發(fā)生的學習”。教師應該精心設計好數(shù)學活動環(huán)節(jié)，讓學生在自由、開放的學習環(huán)境中，發(fā)展智慧、尋找規(guī)律、探尋方法、歸納總結。

蘇教版二年級上冊“認識多邊形”一課中，教師在學生認識多邊形圖形基礎上，讓學生在釘子板上圍出四邊形、五邊形和六邊形。學生雖然有在釘子板上圍圖形的經(jīng)驗，也知道它們分別有4條邊、5條邊、6條邊，但由于一般的四邊形、五邊形和六邊形的形狀各不相同，學生的頭腦里并沒有形成這些多邊形的表象，他們在釘子板上圍多邊形時會缺乏表象的支撐。教師可以先示范在釘子板上圍一個四邊形，然后通過移動四邊形邊上或角上橡皮筋的位置，把學生的思維聚焦到四邊形邊上和角上的釘子中去，從而發(fā)現(xiàn)變動四邊形一條邊上（除端點外）橡皮筋的位置，圖形的邊數(shù)會發(fā)生改變。有了這樣的發(fā)現(xiàn)，學生在釘子板上圍多邊形已是輕而易舉之事了。

隨后一課時“認識平行四邊形”中要求學生在釘子板上圍出平行四邊形，雖然都是四邊形，但圍平行四邊形的難度大大加深，大多數(shù)學生可能要一邊圍，一邊進行驗證，要及時把圍出的圖形與頭腦中的平行四邊形表象比對，若形狀不一致，則圍出的圖形不是平行四邊形，需要進行修改，修改它與平行四邊形不一致的地方。其實有了圍長方形和多邊形的經(jīng)驗，他們在圍平行四邊形的過程中能夠根據(jù)平行四邊形邊的特征，通過數(shù)邊上格子或釘子個數(shù)快速調整、修改圖形，在這一操作過程中，學生頭腦里的平行四邊形表象得到了大大的加強，教師也能通過學生的操作了解他們的思維現(xiàn)狀，從而作出相應的判斷與指導。教師在教學中要注意解放學生的雙手，讓學生運用已有知識與技能去操作、探究、回顧、發(fā)現(xiàn)、總結，以此凸顯思維過程，提高思維水平，提升思維素養(yǎng)。

3．在思維的發(fā)散處深化提升 

在傳統(tǒng)教學模式中，教師和學生只關注答案而忽略思維的過程?，F(xiàn)今學習觀念的轉變，關注的重點不只是知識本身，而是學習知識的過程。新課程提倡開放式教學，給學生更多的思維空間，讓學生帶著所積累的經(jīng)驗和方法，繼續(xù)研究新的問題，不斷提高學生發(fā)散思維的能力，提升數(shù)學思維的品質。

蘇教版五年級上冊“釘子板上的多邊形”一課，通過之前的學習經(jīng)驗，學生知道在釘子板上用線圍圖形，圍成的平面圖形一定是多邊形，頂點一定是釘子板上的釘子。 教師在學生已有知識的基礎上，引領學生先從內部有1枚釘子的多邊形開始探索研究，學生很快能發(fā)現(xiàn)：內部釘子為1時，多邊形面積＝邊上釘子數(shù)÷2，教師再帶領學生舉更多例子來驗證這一規(guī)律是否正確。在驗證時能使不同層次的學生有機會、有效地參與到數(shù)學探究思考中，同時也能凸顯學生思維的廣闊性，彰顯數(shù)學探究的嚴謹性。

在探究多邊形內部釘子為2、3、4時，教師可以放手讓學生去自主觀察、交流研究，這樣由扶到放的策略，讓學生在學習中會越來越有興趣、越來越有思考；讓學生在學習中體驗探索規(guī)律的過程，感悟數(shù)學思想方法，獲得思維的啟迪。

    二、“言”中顯智：讓智慧在孩子言語中傳遞

在學習數(shù)學知識過程中，思維是影響學習效果的重要因素，而語言又是思維的外在表現(xiàn)。在數(shù)學教學過程中，教師應把話語權交給學生，盡可能給學生創(chuàng)造更多表達的時間和空間，師生交流、生生交流的互動方式不僅能培養(yǎng)學生的語言交流能力，又能展示學生內在的思維過程。

1.借助完整表述發(fā)展表達能力

語言是思維的外殼，我們可以通過語言將思維展現(xiàn)出來。但是在低年級課堂中，存在很多回答問題表述不完整的現(xiàn)象，學生往往知道怎么去做，但不知道如何去說，不懂如何把自己的所思所想正確無誤地表達出來，有的學生只會用一些詞組；有些學生說了一大段但還是沒說到關鍵點；還有些學生就說了一半，要么說了原因結果沒說，要么只說結果不說原因。這樣的情況往往讓教師不能準確判斷學生是否真正掌握，也讓班內其他同學不知所云，影響學習效率。

所以教師在教學中應注重培養(yǎng)學生的表達能力：①讓學生在生活中養(yǎng)成先想后說的習慣②讓學生在課堂中注意傾聽同學的發(fā)言，能完整復述并回答別人的問題③注意引導學生有順序、有條理地表述。如教師可以訓練他們正確使用單位名稱：幾個人、幾張紙、幾朵花等等；在解決問題中，訓練學生“說題”的能力：找出題目中的條件與問題，用三句話表述出來；訓練學生用數(shù)學語言敘述計算過程：口算25＋38時，先算25＋30＝55，再算55＋8＝63。通過這樣的反復訓練，讓學生利用語言準確明朗地表達出自己的想法，提高自己的表達能力，教師也能借此對學生的思維過程進行指導，優(yōu)化學生的數(shù)學思維發(fā)展路徑，提升數(shù)學思維品質。[[ii]]

2.通過思路整理掌握分析方法

一堂高效率的數(shù)學課，除了需要學生完整表述出對知識的理解，還要求學生能夠用簡約的語言把事物間的邏輯關系有條理地表達出來。如在教學蘇教版三年級下冊“解決問題的策略（從問題出發(fā)）”應用題中，已知小明和爸爸帶300元去購買運動服和每個商品的價錢，求買一套運動服和一雙運動鞋，最多剩下多少元？

教師先讓學生說一說是如何理解最多剩下多少元？怎樣做才能使剩下的錢盡可能多？然后訓練學生用數(shù)學語言說出解題思路：剩下的錢＝帶來的錢－用去的錢，而用去的錢是未知的，所以要求剩下的錢應先算出用去的錢；而且要使剩下的錢盡可能多，就要選擇價格最低的運動服與運動鞋，所以選擇一套130元的運動服和一雙85元的運動鞋。

一般在解決問題時，教師要學生說出解題思路，說說先算什么，再算什么，通過學生的表達，教師可以直接了解學生審題和理題意的能力，便于教師根據(jù)學生反饋調節(jié)自己教學；學生通過日常的練習可以掌握解題方法，提高分析與解題的能力，并運用所學知識和數(shù)學思想解決生活中的問題，從而豐富生活經(jīng)驗。

3.善于歸納總結培養(yǎng)思維品質

學生在數(shù)學解題中不僅要觀察分析，還應該在解題后歸納總結出普遍方法，由特殊到一般的解題方法的總結過程其實是思維體驗和思維擴展的過程，能提高學生的解題能力和歸納、總結、概括、推理的能力，提升學生思維品質。

如在蘇教版三年級下冊“有趣的乘法計算”一課中，讓學生探索兩位數(shù)乘11的計算規(guī)律。這里的教學可分三個步驟進行：①說算式特點，算出各題得數(shù)。②觀察比較，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師引導學生說說“兩位數(shù)乘11后所得的積個位、十位、百位上是怎樣的數(shù)”，這是對規(guī)律的初步提煉和表達。學生通過交流得出結論：兩位數(shù)與11相乘，積的個位和百位上的數(shù)與原來兩位數(shù)個位和十位上的數(shù)相同；積十位上的數(shù)是原來兩位數(shù)十位與個位上的數(shù)之和。然后學生根據(jù)教師的引導進一步交流歸納總結出“兩邊一拉，中間一加”的計算方法。③驗證并完善規(guī)律。先讓學生應用初步發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成書上的練習，然后出示59×11，讓學生思考：當個位與十位上的數(shù)相加滿10時，積應該如何求出？學生通過相應的討論和交流以及聯(lián)系“滿10進1”的計算經(jīng)驗，進一步完善對兩位數(shù)乘11計算規(guī)律的認識。

交流的碰撞，總結了兩位數(shù)乘11的計算方法；適時的點撥，揭示了知識的本質，從而抽象概括出兩位數(shù)乘11的計算規(guī)律，用語言表達激發(fā)思維、引發(fā)思考，讓學生在活動中不斷發(fā)展、補充、完善思維。

三、“思”中融通：讓思維在孩子頭腦中綻放

小學生正處在以形象思維為主逐步向抽象思維過渡的階段，抽象的文字往往讓學生讀不懂題意，在分析問題過程中若能將文字與圖形相融合，借助圖形把問題中相關信息表示出來，可以幫助學生形象直觀地觀察分析思考問題。

1.隱性思維視覺化

思維是人用頭腦進行邏輯推導的屬性、能力和過程，思維最大特點之一是其過程往往是“隱性的”。課堂上經(jīng)常有教師問學生：“你們聽懂了嗎？”學生總會點點頭。是否真的每位學生都聽明白了？他們究竟接受到了多少知識？在學生的頭腦中，新知與舊知又有著怎樣的聯(lián)系呢？這對教師來說，無疑是個謎！

要解開這個謎團，還是要從思維的特點來研究突破。教師不了解學生真實的思路，很難做到以學定教、順學而導，但是讓全班同學一個一個表達出自己的思維過程，會占用課上大部分時間，也不一定能充分表達出自己所思所想。所以若要使得每個學生都能參與其中，并能充分表述自己對新知的理解，就需要一個載體來如實反映學生的思路，簡單的來說，便是在教學中讓學生的想法畫下來，畫圖是一種比較簡單的方式，也是學生表現(xiàn)思維、教師觀察學生思維的有效方式。[[iii]]如在教學三上《一一間隔》一課時，讓學生自主探索間隔排列的圓和正方形數(shù)量關系時，教師首先需要學生通過畫圖明確一一間隔排列的兩種物體的排列方式。不同的畫法折射出的正是學生不同的思維水平——有些學生只是仿照前面學習的例題，畫出一種表示方法：兩端圖形相同，相鄰兩個正方形中有一個圓，或者相鄰兩個圓中有一個正方形；還有些同學能將前面兩種情況都考慮進去，并得出：兩端都是正方形的情況下，正方形比圓多1，而兩端都是圓的情況下，正方形比圓少1；另一部分同學則在前面的基礎上又多思考出一種圓與正方形個數(shù)相等的情況，這些同學的思維能力相對于其他同學來說更高一些，他們能更具體地、全面地、深入地認識到圖形的內在規(guī)律。教師可以組織學生討論他們畫出的三種圖，并研究在什么情況下兩種物體數(shù)量相等，什么情況下他們數(shù)量相差1。通過師生交流進一步完善學生對間隔排列的兩種物體間數(shù)量關系的認識，從而加深學生對“一一對應”這一數(shù)學方法的體驗。

2.零散知識結構化

小學數(shù)學知識有很強的系統(tǒng)性，很多新知識都是在已有知識基礎上形成和發(fā)展起來的，每一次所學知識都是為后面的學習打下基礎，數(shù)學知識間是緊密聯(lián)系的。對小學生來說，注重數(shù)學知識的整體性，理解領悟數(shù)學知識間的聯(lián)系，才能真正把握數(shù)學知識的本質，更好地發(fā)展數(shù)學思維。教師在備課時，不能只著眼于一課，而應聯(lián)系課本前后知識點設計教學；組織教學時，更要引導學生學會分析比較新知與舊知，進而將新知更好地融合入自己的知識體系中。

如復習三上《兩三位數(shù)除以一位數(shù)》這一單元時，可以在課前先讓學生回顧本單元的內容，“學習兩三位數(shù)除以一位數(shù)過程中遇到哪些問題？又是如何解決的？”“筆算時應注意什么？”然后學生根據(jù)自己對所學知識的理解繪制數(shù)學學科思維導圖。課前進行思維導圖的繪制對學生來說是一種檢驗的手段，也能幫助教師了解不同學生對知識點的掌握程度。課上教師可以有針對性地將部分學生的思維導圖投影展示，全班進行點評，教師及時補充梳理，進一步完善學生的思維導圖。整個教學過程都是以學生為主體，學生在繪制中有效地用數(shù)學思維方式去思考，在交流討論中逐步完善自己的知識結構，學會將單一零散的知識系統(tǒng)化、條理化、結構化，從而促進學生結構化思維的發(fā)展。

（兩、三位數(shù)除以一位數(shù)單元復習思維導圖）

3．復雜問題簡單化

很多教師發(fā)現(xiàn)學生上課聽懂了，而到練習時又常出錯，在數(shù)學的題海中迷失方向，轉不出去。但其實數(shù)學并不可怕，只要理清數(shù)量關系，復雜的數(shù)學問題也能變簡單，任何難題都能迎刃而解。

如：綠花有12朵，黃花的朵數(shù)是綠花的2倍，紅花比黃花多7朵。紅花有多少朵？這一題是讓學生已知三個數(shù)量間的關系和其中一個數(shù)量，求另一個數(shù)量的兩步計算實際問題。已知條件間的相關性并不是十分清晰，學生展開思考時，需要在已知三個條件中進行合理的選擇。僅從文字中分析選擇條件來解題對三年級學生來說還是有一定難度的，這時教師可以利用教材給出的線段圖表示題中的條件和問題，進而再讓他們看圖說說綠花、黃花和紅花朵數(shù)之間的關系。接下來，教師提出：“根據(jù)上面提到的這些關系，你打算怎樣解答教材提出的問題？”引導學生從已知條件出發(fā)展開進一步思考。在學生充分交流的基礎上，出示下圖讓他們把握認知對象的本質，從而理清思路。

（綠花、黃花和紅花數(shù)量關系圖）

很多教師認為讓學生多做題就能產(chǎn)生牢固的記憶，從而提高答題準確率，盡管這也能幫助學生提高成績，但卻只把學習當做簡單的條件反射，忽視學生思考過程及知識建構的作用，課堂缺乏思維。長此以往，學生會缺少思考意識，思維能力得不到發(fā)展。教師在教學時應更多地注重學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，讓學生學會將抽象數(shù)學問題與圖示結合起來，打開思維的大門，讓不可見的思維可視化，復雜的問題簡單化，從而找到有效的問題解決的辦法。

在科技飛速發(fā)展的大數(shù)據(jù)時代背景下，傳統(tǒng)教育難以滿足現(xiàn)代對素質人才的要求，所以需要改變教學模式，更注重培養(yǎng)學生的思維品質和能力。小學數(shù)學思維可視化是一種新的教學模式，改變了教師的教學方式和學生的學習方式，構建出一個智慧、開放、自由、個性化的課堂，讓學生在輕松的學習狀態(tài)下學會了知識、掌握了技能、發(fā)展了思維！